【2024年版】東北大理系数学 傾向と対策 攻略のための勉強法

東北大の理系数学において

どんな問題が出題されるのだろうか
自分が解けるレベルまで到達できるのだろうか
など、漠然と不安に思っている人は多いのではないでしょうか。

そこで今回は、東北大の理系数学でどんな問題が出題されるのか東北大の理系数学を攻略するにあたっての対策や勉強法ついてお話しをしていきます。これから受験勉強を始めようという人向けの内容にもなっています。

東北大学理系数学の出題範囲・形式について

出題範囲(前期日程)
経済学部(理系), 理学部, 医学部医学科, 医学部保健学科放射線技術科学専攻・検査技術科学専攻, 歯学部, 薬学部, 工学部, 農学部

・ 「数学Ⅰ」「数学A」
・「数学Ⅱ」「数学B(数列)」
・「数学Ⅲ」「数学C(ベクトル,平面上の曲線と複素数平面)」
試験時間150分

問題数

大問6題
各大問は小問2~5つで構成
※これまで一部の年度では、小問分割されてないものも出題
出題形式

全問記述式

 頻出分野

分野は満遍なく出題されています

東北大学HPに内に記載さてている情報を参照しています。2024年5月1日時点の情報です。

どんなレベルの問題が出題されるのか?

近年の東北大の理系数学入試においては、教科書の例題に基礎におきつつも、そこから発展・融合したような問題が出題されています。難易度が標準のものが3, 4題ほど出題され、やや難から難問に分類されるような難易度の大問が1, 2題出題されます。

2024年は難化して、やや難から難問に分類される難易度の大問が3題でしたが、これだと差が付かなかったのではないかと予想されるため、この傾向が続くとは思えません。また、問題文が長文化しており、今後は気にしておくべき傾向かもしれません。

標準難易度の出題に関しては、下の2024年の大問2が参考となるでしょう。

小問(1)の不等式については数学Ⅱで学びますが、問い方が教科書のものと随分異なります

また、小問(2)まで読んでみると、整数分野・数学的帰納法の内容とも合わせた出題となっていることに気付きます。小問(2)についても問い方が教科書のものと異なります。青チャートの「基本例題」より難易度は少し高く、内容としてはやや発展的で複数の分野が融合した出題がなされます

ところで、東北大のような難関大学において、標準難易度の問題が大問6題中に3, 4題も出されてきたことは不思議に思えます。その出題の背景には、次に説明する東北大発表の文書中に長い間記載され続けてきた「基本の理解」を問おうとする姿勢が窺えます。

何が問われてるのか?

東北大発表の文書から読み取れること

東北大学は文書「東北大学一般選抜個別学力試験 出題意図」(今年度分は東北大HPに掲載期間6月から10月で発表されていました)を20年間ほど発表してきました。

大問ごとの出題意図、採点講評、全般的な注意がなされています。令和5年度の内容を抜粋すると、「基本の理解」「計算の力」「明解な答案作成」が東北大側から求められていることが分かります。

基本の理解

この「基本の理解」という語については文書中で、

公式や解法を知っていても、それらの公式や解法を問題の解決に正しく適用できなければ、誤った答えに至るでしょう。
数学の教科書や参考者、問題集で公式や解法の適用の例に出合った際には、是非、なぜその適用が必要なのか、その適用がなくても答えを得る方法はないのか、と考えながら理解を深めてください。

と付け加えられております。

これは、上の24年の大問2(1), (2)を解く際に求められるような力、すなわち教科書の例題そのままを「暗記」や「あてはめ」で理解した状態ではなく、じっくり時間をかけて理解した上で何問かの類題を解くことにより獲得される幅のある理解力を指すと考えられます。

しばしば、高2生が「定期テストでは点数が取れるけど、模試となると途端に手が出ない。」と悩んでいるのを耳にします。
これはまさに理解の仕方が「暗記」や「あてはめ」の段階に留まっている状態で、教科書の例題や青チャートの「基本例題」を少し変形した形の問い方がなされた場合への対応力が身に付いていないのが原因なのです。

計算の力

また、文書中には、各大問ごとの採点講評がなされていますが、「分数の初歩的な計算ミス」「三角関数の諸性質の理解や計算練習が不十分」などの語が並びます。かなり基本的なところで差がついていることが分かります

「計算の力」については、例えば、基準を設けて場合分けをして数え上げる力とか、座標平面上での交点や対称点を求める際の煩雑な計算などに耐えうる力を指すと言っていいでしょう。青チャートの各単元で紹介されている計算量を減らす工夫などもこの「計算の力」に入るでしょう。

こういった一通りの計算の工夫を知った上でも、計算の量が多いために苦戦する大問が近年の東北大理系数学では出題されます。

下のやや難から難問に分類される難易度の2023年の大問6の(2)が参考となるでしょう。「線分が通過してできる図形の面積」というテーマですが、強いて挙げれば、青チャート数ⅡBの単元「不等式の表す領域」内の「重要例題」で扱われています。

(2)においては、図形Sの概形を描くだけでも計算は大変ですし、そもそも、どんな手順で答案に書き、根拠を持ってその概形を描いているかを採点者に示すのは易しいことではありません。この大問においては、かなりの「計算の力」が問われます。

明解な答案作成

さて、「明解な答案作成」について説明するには、下の2022年の大問1を見てみましょう。

たとえば、小問(1)を下書き欄にでもただ数式を書き並べるだけで解くという作業は高2生の多くはできると思います。

しかし、数え漏れがないように、重複がないように問題分中のNをカウントするには、自身で数え上げの規則を設けてカウントする必要があります。それを採点者に伝わるように答案作成するのです。

小問(1)に関しては、いわゆる、〇と棒を並べる数え上げに帰着させる解法の結論だけを暗記してきた者にとっては、数式と記号の混ざった断片的な文章しか書くことはできないでしょう。

こういった説明になっていないような答案のことを「導く論理の道筋が明解でない答案」と言っているのだと思うのです。明解とまでは言えないまでも、まずは説明が説明になっている答案を心掛けたいです。

東北大の文書中では、

問題を正しく理解し、自分の解答を明快な論理的記述で記す能力は、けっして、暗記による知識だけで得られるものではありませんし、一朝一夕で育つものでもないでしょう。
一方、その能力は、数学に限らず、自然科学、社会科学を含む学間一般にも必要ですし、より一般的には、いわゆるコミュニケーション能力がその能力に基づくものとも考えられます。

と述べられており、今回挙げた「基本の理解」「計算の力」「明解な答案作成」の3つのうち特に重点的に記述されていました。おそらく、受験生の答案で何を書いているのか分からないような答案が多かったのではないかと推測されます

 

東北大の理系数学を攻略するための勉強法

これだけ「基本の理解」を求めている大学を志望するのであれば、やや難から難問に分類される大問の対策は高3の夏頃から開始というスケジュールが妥当です。

高2の3月までは、「基本の理解」「計算の力」の2つに絞って対策をしていくのが良いでしょう。以下の項目1.から3.までを高2の3月までに必ずこなしてほしいですし、できれば項目4.にも着手してほしいです。次の章で説明する項目5.は高3の夏頃から始める対策、項目6.は数学で点数を稼ぎたい人向けの内容となっています。
「明解な答案作成」については、「基本の理解」「計算の力」が十分身についてからでよく、例えば、過去問演習などを通じて伸ばしていくのが良いです。

1.用語を丁寧に理解していく

用語を理解するとは、定義を理解することと言い換えても差し支えありません。数学を勉強する上で先を急ぎたい気持ちはよく分かるのですが、数ⅠAや数ⅡBの教科書の用語を正しく説明できるかを確かめてみましょう

たとえば、教科書や青チャートの「集合」や「命題と条件」といった単元のページを開いてみて、「自分は、本当にこの単元の用語を理解できているのか?」と自問自答してみるとよいです。

数学が苦手な生徒の傾向として、「代入する」と言った用語を勝手に「あてはめる」とか「ぶち込む」とか別の用語でもって言い換えて使用しているというものがあります。

他にも、「少なくとも」「高々」「任意の」「ある」という数学の文章を書く上で頻出であるはずの語がちっとも出てこないという傾向があります。

このようないい加減な用語の使い方をする人が意識的な努力もなしに「明解な答案作成」ができるようになるとは思えません。本当に地味な作業ですが、教科書の用語を正しく説明できるか・使用できるかを確認していきましょう。

2.白チャート・教科書ガイドを使ってみる

教科書に載っている用語の理解が怪しいと感じた人は、白チャートや教科書ガイドがつまづきやすい箇所を詳しく補足しているので、利用してみるのも手です

たとえば、「点と直線の距離の公式」「三角関数の加法定理」は使い方については多くの人は学びますが、証明をもう一度理解してみる・書き写してみることからは遠ざかっている人は多いのではないでしょうか。教科書を詳細に理解することによって、「基本の理解」が深まります。

3.青チャートの基本例題を覚えてしまうくらい繰り返す

たとえば、「定期テストでは点数が取れるけど、模試となると途端に手が出ない。」といった状態に留まっている人は、青チャートの基本例題を繰り返し解いてみましょう
そうすると、結果として覚えてしまうことになります。ここで大切なことは、覚えようとするのでなく、結果として覚えてしまうことになるということです。覚えることを目的しては効果が薄れてしまいます。

東北大発表の文書中にある「教科書の公式をなぜこの場合に適用可能なのか」まで理解することは、一段上の視点から教科書の公式を理解することになりますので、初学者にとってはなかなか難しいです。繰り返すことにより見えてくるものもありますので、まずは青チャートの基本例題を繰り返し解いてみましょう

この3. までを高2の終わりまでに達成できていると、合格可能性が高まります。しかし、これだけでは東北大側から求められている「基本の理解」にはまだ少し及びません。入試問題を解くことにより、「基本の理解」ができているか試してみるのがいいでしょう

4.青チャートのEXERCISESを解いてみる

青チャートには各単元末に「EXERCISES」と名付けられた例題と関連する問題が数題載っていて、入試問題の過去問やその改題から選ばれています。今現在高3生であり、高校から例えば「重要問題集」「スタンダード数学演習」といった受験学年用の問題集を渡されている人はそちらを利用したほうが重複がなくていいでしょう
「EXERCISES」や受験学年用の問題集には、教科書の例題から発展した問題が掲載されており、「基本の理解」ができているかを入試レベルの問題を通して判断することができます。実際のところは、「EXERCISES」を解いて初めて、教科書に載っている用語が理解できていなかったこと、青チャートの「基本例題」が理解できていなかったことに気付くことができるはずです。

「計算の力」を身につけるには

高2生までなら、「基本の理解」を深めようとする中で養われた計算のコツ、計算の量を減らす方法を習得していくので十分です。まずは、数Ⅰの「数と式」、数Ⅱの「式と証明」の章の問題をスラスラ解けるというレベルまで達してほしいです。その後、座標平面上で直線に関する対称点を求めるとか積分計算を効率よく行うための技法などを身につけましょう。これは上述の項目3.をこなすことにより、身に付くでしょう

高3生となると話は別で、より高い「計算の力」を目指さねば合格点には達しません。具体的には、青チャートの「重要例題」「演習例題」や「EXERCISES」を利用することになります。東北大の入試問題は、教科書の例題や青チャートの「基本例題」と比べると計算の複雑さが増しますし、ただの式変形の力を問うているのでなく、さらに先のことを問うています。ですので、「EXERCISES」などを利用して入試問題で問われる「計算の力」というものに慣れておくのがいいでしょう

たとえば、群数列というテーマですと、青チャートの「基本例題」で扱われている群数列と「重要例題」や「EXERCISES」で扱われている群数列とでは複雑さが違います。ですので、青チャート各章の「重要例題」「演習例題」や「EXERCISES」も解いてみて、入試問題における計算の複雑さを体験して、そして、計算技法も習得しましょう。同レベルの問題は、「重要問題集」「スタンダード数学演習」といった受験学年用の問題集にも掲載されていますので、そちらでも構いません。

付け加えておきますと、実は過去に東北大入試数学において計算量が多かった大問は数IIIの「積分法」「積分法の応用」からの出題になります。ですので、数IIIの「積分法」「積分法の応用」の特に「重要例題」「演習例題」を通じて「計算の力」を身につけると良いです。ちなみに、青チャートの「積分法」「積分法の応用」の単元の「重要例題」「演習例題」は問題数が結構多く、この2つの単元を重視した編集方針ということなんでしょう。

「明解な答案作成」をできるようにするには

次に、東北大側から求められている「明解な答案作成」についてですが、制限時間のある試験ではなかなか明解な答案を作ることは難しいです。そこで、いわば「導く論理の道筋が明解でない答案」をまずは脱却することを目指しましょう

そのような答案作成であれば、青チャートの例題を解いていくうちに、あるいは、真似ていくうちに自然に形にはなってくるのかもしれません。作成した答案の質について気にするようになっている時期には、もう東北大過去問演習に入っているでしょうから、作成した答案を一度数学担当の先生に見ていただくのがいいと思います。

5.東北大の過去問演習を行う

「EXERCISES」や受験学年用の問題集は各単元ごとの出題となっており、分野融合の問題はあまり収録されておりません。高3の夏頃からは、東北大の過去問を解いてみましょう。分野融合の出題も一部ある過去問を解いてみて、各単元ごとの出題となっている問題集との違いを感じることができると思います。一筋縄ではいかぬ計算処理をすることによって、「計算の力」が問われていることに気付くと思います。問題の難易度を肌感覚で感じたところで、数学で点数を稼ぐのか、あるいは、英語や理解で稼ぐのか方針も定まってくると思います。

6. やや難から難問に分類される大問の対策を行う.

青チャートの「EXERCISES」、あるいは、受験学年用の問題集を数回解き、過去問演習までこなした高3生は、もう既に合格点に到達しているはずです。この項目6.は、数学で点差を付けたい人、あるいは、高偏差値である学科を志望している人向けの内容になります。2024年の東北大入試数学では、やや難から難問に分類される大問が3つも出題されました。空間の把握も求められており、難易度は高いです。青チャートの「総合演習」第2部には、単元ごとであるもののやや難から難問に分類される大問が掲載されています。分野融合問題の演習をしたいのであれば、月刊誌「大学への数学」の1月号、2月号で特集されている「総合演習」で対策を進めていくと良いでしょう。

まとめ

東北大の理系数学では、「基本の理解」「計算の力」「明確な答案作成」で差がつくような問題が出題されます。これらの問題を攻略するにあたっては、以下のステップで勉強を進めていきましょう。

1.用語を丁寧に理解していく
2.白チャートや教科書ガイドを使ってみる
3.青チャートの基本例題を覚えてしまうくらい繰り返す
4.青チャートのEXERCISESを解いてみる
5.東北大の過去問演習を行う
6.やや難から難問に分類される大問の対策を行う

1〜3は高2生のうちに(4はできたら)、5、6を高3生のうちにできたら合格できる力を身につけることができるでしょう。

執筆:当塾 数学【カラ破り】コース主任I・T先生

東北大の理系数学の対策ができる数学【カラ破り】コースを開設しました
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旧帝大などの難関国公立、早慶などの難関私立、医学部などを志望している方や、共通テストや二次試験において数学で高得点を狙っている方で、数学がこんな状態になっていないでしょうか。

・基礎レベルの問題は解けるのに入試レベルになると手も足もでない。

・塾や参考書などで数学をたくさん勉強してきたにも関わらず数学が伸びない。

・勉強量に反比例して数学の成績が落ちてきている。

・過去問を解いても合格点に届く気がしない。

毎年、当塾ではこういったご相談を多く受けます。
しかし、ある程度基礎力がついているにも関わらず数学で点数が取れない理由は、次のことが原因となっています。

 

なぜ数学の力が伸びないのか

ある程度のところまでは演習量で何となるものの、一歩上のレベルに行きたいと思っているのに、その”カラ”を破れないのには原因があります。

それは、参考書や塾で学んだことの表面しか見れていないからです。その裏側にある、他の問題や内容とのつながり、どういったことを意図して解いているのかといった立体的な視点を持つ必要があります。

↑の図のように、問題の裏側にあるものをどれだけ読み取って理解することが、数学で安定して点数を取ることに直結するのです。

ちまたでは、「参考書ルート」と呼ばれるものがあります。これは、この大学に行くにはこの参考書を解いておけば良いと言われるものです。
しかし、そのルート通りにやって合格する力が保証されるのなら、入試の合格最低点は高くなりもっと過激な競争になっているはずですが、そうはなっていません。

そのルートをたどって勉強しても合格できる人とできない人で別れてしまうのです。ルートをたどっても必ずしも合格できるだけの数学力がつくわけではない理由も、その参考書の裏側にあることをどれだけくみ取れているかが人によって違うためです。

解答の行間や解法の発想などの書いていないことをどれだけ拾えるかが重要になります。

では、こういったことを独学でやっていけるのかというと、これまで裏側を読み取れていなかった人が急に読み取るのは難しいです。

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